पायथागोरसची मूळ त्रिकुटे

पण मग व्यस्त आहे तरी काय ?

" जर पायथागोरसची मूळ त्रिकुटे अनंत असतील तर मूळ संख्या ही अनंत असतील " ???

मूळ त्रिकुटे अनंत असतात. https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple
युक्लीडच्या फॉर्म्युला नुसार,
m आणि n या धन संख्यांसाठी m > n
a = (m)२ - (n)२ , b = 2mn , c= (m)२ + (n)२ (२ हा वर्ग आहे )
अशाप्रकारे निर्माण होणारी त्रिकूटे जर m आणि n हे को-प्राईम (लसावी १, म्हणजेत त्यांना १ सोडून कुठल्याही संख्येने पूर्ण भाग जात नाही ) असतील आणि त्यापैकी एक सम आणि एक विषम असेल तर 'मूळ' त्रिकुटे असतील. दोन्ही सम किंवा दोन्ही विषम असतील तर a, b आणि c सगळे सम येतील आणि ते मूळ त्रिकूट असणार नाही कारण त्याला २ ने नक्की भाग जाईल.
या समीकरणाने सगळी मूळ त्रिकूटे मिळतील. वरच्या सगळ्या समीकरणात स्थिर k टाकला, तर सगळी (मूळ आणि मूळ नसलेली) त्रिकुटे मिळतील.
जर संख्या अनंत आहेत, तर त्रिकूटे ही अनंत असतील. कसं सिद्ध करायचं माहित नाही, पण इंट्युटीव्हली अनंत असतील.
वरील माहिती विकी वरच्या पानावरून आहे, तिकडे युक्लीडच्या समीकरणाची सिद्धताही आहे.

मी आता हेच वाचत होते ..

मूळ त्रिकुटे अनंत असतील असं "वाटत" आहे .. पण दुसर्‍या प्रश्नाचा रोख नीट कळत नाही ..

या विधानाचा व्यस्त खरा असेल का? व्यस्त हा आहे ? "पायथागोरसची मूळ त्रिकुटे जर अनंत असतील तर मूळ संख्याही अनंत असतील" किंवा पॅराफ्रेज्डः मूळ संख्या अनंत आहेत हे पायथागोरसची मूळ त्रिकुटे अनंत आहेत ह्याने(ही) प्रूव्ह होतं का?

व्यस्त असं प्रुव्ह होत नसावं. कारण 'त्रिकुटे अनंत आहेत' कारण 'मूळ संख्या अनंत आहेत', असं म्हटलं तर जे ह्या विधानात पक्ष आहे, तेच व्यत्यासात पक्ष करून साध्यांची अदलाबदल म्हणजे चीटिंग वाटते. गणितज्ञ सांगतीलच.
अ --> ब म्हणून ब--> अ हे काय बरोबर 'वाटत' नाही.

अमित, मग व्यस्त काय आहे त्याचा? (व्यस्त नीट लिहीता तर यायला हवा पुढच्या चर्चेसाठी? ;))

( मराठीत लिहीलेलं कळायला फार त्रास होतो .. व्यस्त आणि व्यस्तास, पक्ष - कन्फ्युजन ही कन्फ्युजन है ..

व्यस्त = व्यस्तास = कॉन्व्हर्स?
पक्ष = ?)

सॉरी .. कॉन्व्हर्स बरोबर .. (मराठी काय इंग्रजीही जमेना .. :|)

तर जर अनंत मूळ संख्या असतील तर अनंत क्ष असतील >> इथ पर्यंत समजलं. पण यावरून पायथागोरसची मूळ त्रिकुटे अनंत असतील हे कसं काढलं?
थोडक्यात, पुढची वर्ग संख्या काढायला यावर्ग संख्येतील विषम सांख्याची फोड करून आलेल्या समीकरणात पुढची विषम संख्या मिळवायची हे समजलं, पण याने मूळ त्रिकूट कशी मिळतात?

म्हणजे १२ च्या फोडीत २५ मिळवले की १३ चा वर्ग आला. मग १४ , १५ असे वर्ग मिळत जातील.
पण ५, १२, १३ हे रिलेशन कसं मिळवायचं?

ते रिलेशन हे आहे ना?

(ab, (a^2-b^2)/2, (a^2 + b^2)/2) where 1 <= b < a

(संदर्भः http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/numbers/pyth.pdf)

हो, पण ते वापरायचं नाही म्हणतोय ना टण्या!

८, १५, १७ किंवा कुठल्याही +१ नसणाऱ्या जोड्या मिस होतील ना याने?
अर्थात सगळ्या मूळ जोड्या शोधणे हा उद्देश नाही, आणि मूळ जोड्यांचा सबसेट जर अनंत असेल तर मूळ जोड्याही अनंत असतीलच. ओके.

ह्यावर आधीच लिहिले असल्याने रिक्षा - http://www.maayboli.com/node/46221

जाता जाता <मूळ जोड्यांचा सबसेट जर अनंत असेल तर मूळ जोड्याही अनंत असतीलच.> ह्याला +१.

विकी वरून आणखी गंमतीशीर माहिती
१. कर्ण आणि मोठी बाजू यात १ चा फरक असलेली अनंत मूळ त्रिकूटे आहेत. (५, १२, १३ अशी)
२. दोन बाजू (कर्ण नाही) मध्ये १ चा फरक असलेली ही अनंत मूळ त्रिकूटे आहेत (२०, २१, २९ अशी)
३. दोन बाजू (कर्ण नाही) मध्ये २ चा फरक असलेली ही अनंत मूळ त्रिकूटे आहेत (८, १५, १७ अशी)
४. (४n+ २) सूत्रात न बसणारी (२ पेक्षा मोठी) प्रत्येक धन संख्या मूळ त्रिकुटात असतेच. उदा. १० नाही पण ११ १२ १३ आहेत. (११, ६०, ६१ - १२, १३, ५ इ. )
५. आता या ४n + २ सूत्रात बसणाऱ्या संख्याही त्रिकुटात असतातच, फक्त ती मूळ नसतात. थोडक्यात २ पेक्षा मोठ्या सगळ्या संख्या त्रिकुटात असतात.
ही पटकन समजली आणखी बरीच आहेत. भास्कराचार्य लेख वाचतो.

<<व्यस्त = व्यस्तास = कॉन्व्हर्स?>>

व्यत्यास ना?

आता सकाळी सकाळी एवढंच डोकं चाललं.

टण्याच्या लॉजिकने अनंत मूळ संख्या आहेत म्हणून अनंत मूळ त्रिकूटे असतील हे बरोबर आहे. पण ते खरे तर अनंत विषम संख्या आहेत म्हणून अनंत मूळ त्रिकूटे आहेत. वीकर हायपॉथिसीसने रिझल्ट मिळणे हे जास्त स्ट्राँग स्टेटमेंट आहे (एकच मूळ संख्या असती तरी तिच्या प्रत्येक घातासाठी एक मूळ त्रिकूट मिळाले असते.)

व्यत्यासाबद्दल लगेच काही सांगता येत नाही, बहुधा काही संबंध नसावा, पण खोलवर विचार करतो आणि मग जास्त अधिकाराने काय म्हणायचे ते म्हणतो.

व्यत्यास = converse

पक्ष = given

विषम संख्या घ्या .

त्याचा वर्ग करा.

वर्गाचे १ च्या फरकाचे दोन हिस्से करा.

त्रिकुट दिसेल.

५ .... वर्ग २५ ..... दॉन हिस्से ... १२ , १३

५ , १२ ,१३

नक्कीच!

इंटरेस्टींग !!