शकुंतला देवी - कसं हो केलंत तुम्ही हे?!

शकुंतला देवींवर काही दिवसांपूर्वी चित्रपट आला. त्यावर चर्चाही झाली. त्यात त्यांच्या जादूवर कमी भर आणि कौटुंबिक गोष्टींवर जास्त वेळ दिल्याने काही लोक जरा खट्टूही झाले असतील. 'त्यांनी हे कसं बरं केलं असेल?' अश्यासारखी विचारणा मायबोलीवरही झाली. त्यांनी स्वतः ते काही कुठं फार लिहून ठेवलेलं नाही. त्यांच्या १-२ युक्त्यांबद्दल त्यांनी लिहिलं आहे. त्यांची एक मोठी जादू कशी केली असेल, असा प्रश्न मलाही पडला. त्याची उकल करण्याचा हा एक फावल्या वेळातला प्रयत्न आहे. थोडीशी मजा म्हणून. वास्तविक शकुंतला देवींबद्दल फार पूर्वीपासून ऐकलेलं असलं, तरी त्या करत होत्या ते गणित नाही, ह्याची जाणीव असल्यामुळे तिकडे कधी फार लक्ष दिलं नव्हतं. ह्या निमित्ताने ते एक करून बघितलं, आणि मजा वाटली.

६१६२९८७५चं घनमूळ

६१६२९८७५ ही संख्या पाहून 'अबब!' असं वाटणं साहजिक आहे. पण एकदा ही संख्या एका नैसर्गिक संख्येचा घन (perfect cube) आहे, हे माहिती असल्यावर तिचं घनमूळ काढणं अगदी सोपं आहे. कसं ते पाहूया.

६१६२९८७५ मध्ये ८ आकडे आहेत. ८ हा आकडा २ x ३ = ६ आणि ३ x ३ = ९ ह्यांच्यामध्ये येतो. त्यामुळे घनमुळात ३ आकडे असणार, हे उघड होतं. कारण २ आकडी संख्येचा घन हा फक्त ६ आकडीच येऊ शकतो. संख्येचा घन केला, की तिच्यातल्या आकड्यांची संख्या साधारण ३ पटीने वाढते.

आता आपल्या घनमुळात ३ आकडे आहेत. त्यातला एकक स्थानचा अंक ओळखायला अगदी सोपा. ६१६२९८७५ मधला एकक स्थानचा अंक ५ आहे. त्यामुळे घनमुळातसुद्धा एकक स्थानी ५ च असणार, ही त्यातली मेख आहे. त्यामुळे हा अंक नक्की झाला.

आता संख्येच्या सुरवातीकडे बघू. ६१..... अशी संख्या आहे. बाकीच्या आकड्यांकडे बघायचीच गरज नाही. ६१ हे ४ x ४ x ४ = ६४ ह्याच्या अगदी जवळ आहेत. त्यामुळे तुमचं घनमूळ ४०० च्या अगदी जवळ पण थोडंसं कमी आहे, हे उघड होतं. (४०० x ४०० x ४०० = ६४००००००)

त्यामुळे ४००च्या अगदी जवळ पण थोडीशी कमी, आणि एकक स्थान ५ असलेली संख्या कुठली असावी बरं? ३९५ हे उत्तर सहज येतं, आणि तेच बरोबरही आहे, हे तुम्ही सहज बघू शकता.

त्यामुळे, ६१६२९८७५चं घनमूळ = ३९५ हे उत्तर फक्त शेवटचा आकडा ५ आणि सुरवातीचे २ आकडे ६१, हेच बघून सांगता येतं. मधल्या आकड्यांची गरज लागत नाही. हा ह्यातला महत्त्वाचा धडा आहे. अजून एक नोंद घेण्याजोगी गोष्ट म्हणजे घनमुळातले ३ आकडे हे संख्येतल्या ३च आकड्यांवरून सांगता येतात.

हे वरचं सगळं डोक्यात क्षणार्धात करता येणं, ही अर्थातच शकुंतला देवींची खासीयत आहे.

१००८५९३७५ चं सातवं मूळ

ह्याच मार्गाने वरच्या अशक्य वाटणार्‍या प्रश्नाचं उत्तरही सहज देता येतं. १००८५९३७५ मध्ये ९ आकडे आहेत. १ x ७ = ७ आणि २ x ७ = १४, त्यामुळे आपल्याला हवी असलेली संख्या २ आकडी आहे, हे लक्षात येतं. आता पुन्हा एकक स्थानाकडे बघूया. ते आहे ५. त्यामुळे पुन्हा एकक स्थानचा अंक ५च येतो. आता पुन्हा संख्येकडे बघितलं, की लक्षात येईल, की २० चा ७वा घात १२८००००००० हा १० आकडी म्हणजे आपल्या संख्येपेक्षा मोठा आहे. त्यामुळे आपल्याला हवे असलेले उत्तर २ आकडी, एककस्थानी ५ असलेले, आणि २० पेक्षा लहान आहे. अशी संख्या कुठली असू शकेल? तर अर्थात १५. आणि हेच आपलं उत्तर आहे!

इथेही तीच गंमत आहे. संख्येतले बहुतांशी आकडे उत्तर काढायला उपयोगी नाहीतच मुळी!! फक्त आकड्यांच्या संख्येकडे बघून आणि शेवटचा आकडा बघून उत्तर काढण्यासाठी अचूक आडाखे बांधता येतात. हे सगळं व्यासपीठावर सर्वांच्या समोर आणि पटकन करण्यातलं शकुंतला देवींचं कौशल्य वादातीत आहे.

ह्यासारखे प्रश्न सोडवणं मजेशीर आणि विस्मयकारक असलं, तरी वरचे सगळे प्रकार करणं हा शकुंतला देवींसारख्या व्यक्तीसाठी फार कठीण असावं, असं त्यांना बघून व त्यांची पुस्तकं वाचून वाटत नाही. पुढचं जे उत्तर आहे, ते काढणं मात्र नक्कीच सोपं नाही. त्यात स्मरणशक्तीची कसोटी आहे. पण आपल्या आत्तापर्यंतच्या अनुभवातून ते जितकं अशक्यप्राय वाटतं, तितकंही ते नसावं, असं मानायला जागा आहे. त्यामुळे हातपाय न गाळता आपण पुढे जाऊन त्यातली गंमत बघूया.

916,748,676,920,039,158,098,660,927,585,380,162,483,106,680,144,308,622,407,126,516,427,934,657,040,867,096,593,279,205,767,480,806,790,022,783,016,354,924,852,380,335,745,316,935,111,903,596,577,547,340,075,681,688,305,620,821,016,129,132,845,564,805,780,158,806,771 चं २३वं मूळ!

अगागागा! एवढी मोठी संख्या आहे, की ती मी मराठीत न लिहिता मला ती आणून चिकटवावी लागली! ह्या संख्येत २०१ आकडे आहेत. (म्हणजे असावेत. )

पण घाबरून जायचं कारण नाही. आपला पहिला रस्ता गाठूया. उत्तरात किती आकडे असावेत बरं?

तर ८ x २३ = १८४ आणि ९ x २३ = २०७. म्हणजेच उत्तरात असणार ९ आकडे. त्यामुळे २०१, २३वं मूळ, इ. आकड्यांनी विचलित होण्याची गरज नाही. एंड ऑफ द डे आपल्याला फक्त हे ९ आकडे निश्चित करायचे आहेत, हे लक्षात असू दे.

आता इथून पुढे आधीपेक्षा जरा जास्त कठीण आहे. आता इथे एक मुद्दा असा लक्षात घ्यावा, की २०१ आणि २३ हे दोन्ही शकुंतला देवींना आधीपासून माहिती होते. अचानक कोणतीही पूर्वकल्पना नसताना हेही आकडे ऐन वेळी सांगितल्यास कोणीही असं उत्तर काहीतरी गुपित असल्याशिवाय काढू शकणार नाही. ६०१ आकडे असलेल्या संख्येचं ६७वं मूळही ९ आकडी येईल, पण ते काढण्यासाठीही आपल्याला ६०१ आकडे असलेली संख्या आणि तिचं ६७वं मूळ काढायला सांगणार आहेत, हे आधीपासून माहिती असायला हवं. पुढे येणार्‍या उत्तर काढण्याच्या पद्धतीवरूनही ते नक्की होईल.

आता आपल्या संख्येकडे बघा. आधी आपण फक्त एकक स्थानाकडे बघत होतो. आता आपल्याला फक्त एका आकड्याकडे बघून पुरेसं होणार नाही. कारण उत्तरात २ किंवा ३ आकडे नसून चांगले ९ आकडे आहेत! मग काय करायचं?

तर संख्येतले शेवटचे ४ आकडे बघा. ६७७१ असे ते आहेत. ह्या ४ आकड्यांवरून उत्तराचेही शेवटचे ४ आकडे काढता येतात! ह्याच्या २ पद्धती मी विचार केल्यावर मला दिसल्या. शकुंतला देवींनी त्यातलं नक्की काय केलं असेल, हे मला किंवा कोणालाच माहिती नाही. त्यातली एक पद्धत पुढे सुरवातीचे आकडे काढायला जी पद्धत आहे तीच आहे. त्यामुळे मी ती इथे देत नाही. आणि दुसरी पद्धत त्यांच्या अफाट स्मरणशक्तीवर अवलंबून आहे. ती पूर्ण न देता मी इतकंच म्हणतो, की जसा उत्तरातला एकक स्थानचा आकडा संख्येच्या एकक स्थानावरून काढता येतो, तसेच खरंतर दशम, शतक, वगैरेंचेही काढता येतात. तसं एक एक्सेलमध्ये २३व्या घातांचं टेबलच बनवता येईल म्हणा ना! आणि शकुंतला देवींनी हे अक्खं टेबल पाठ केलेलंही असू शकतं. त्यांची स्मरणशक्ती फार भारी होती, हे तर सांगायला नकोच.

त्यामुळे अश्या टेबलवरून दिसतं, की एखाद्या संख्येच्या २३व्या घातात शेवटचे अंक ६७७१ असतील, तर त्या संख्येचे शेवटचे अंक २८९१ हेच असले पाहिजेत! अर्थातच, आपल्या उत्तराचे शेवटचे आकडे २८९१ आहेत.

त्यामुळे आपलं उत्तर -----२८९१ असं दिसणार आहे. सुरवातीचे ५ आकडे आता आपल्याला काढायचे आहेत.

लॉगॅरिदम टेबल्स!

बहुतेक सर्वांनी शाळेत किंवा कॉलेजमध्ये लॉगॅरिदम टेबल्स वापरली असावीत. अँटीलॉग आणि मँटिस्सा नावांनी डोक्यांभोवती पिंगाही घातला असेल. त्याच आठवणींना आपल्याला आता जागं करायचं आहे. लॉगॅरिदम्समुळे गुणाकारासारखं कठीण काम बेरजेसारखं सोपं होऊन जातं, हे लक्षात घ्यायचं आहे.

एखाद्या संख्येच्या लॉगॅरिदमचे २ भाग असतात. दशांशचिन्हाच्या आधीचा भाग म्हणजे एक्सपोनंट! तो फक्त संख्येत किती आकडे आहेत हे सांगतो. त्यामुळे २०१ आकडे असलेल्या संख्येचा एक्सपोनंट २०० असतो, हे सरळ आहे. त्यामुळे

लॉग(२०१ आकडी संख्या) = २००.काहीतरी

असणार, हे उघड आहे. हे 'काहीतरी' म्हणजे काय, ते आपण शोधणार आहोत.

'काहीतरी' म्हणजे इथे येतो मँटिस्सा! दशांशचिन्हाच्या पलीकडचा भाग. तो संख्येत कोणते आकडे आहेत, हे सांगतो आपल्याला. तो काढण्यासाठी आपण फक्त संख्येच्या सुरवातीच्या काही आकड्यांकडेच बघायचं आहे, जसं आधी केलं होतं तसंच! हीच ह्यातली मेख आहे.

आपली संख्या ९१६७४८.... अशी आहे. लॉगॅरिदम टेबलात पाहिलंत, तर ९१६७ चा मँटिस्सा दिसेल, ०.९६२२३. त्याचबरोबर ९१६८ चा मँटिस्सा दिसेल, ०.९६२२७. ९१६७०० आणि ९१६८०० ह्यांच्या जवळजवळ मध्ये ९१६७४८ आहे. त्यामुळे मँटिस्सासुद्धा ०.९६२२३ आणि ०.९६२२७ ह्यांच्या अदमासे मध्ये, म्हणजेच ०.९६२२५ असायला हवा!

अर्थात, आपल्या भल्यामोठ्या संख्येचा लॉगॅरिदम साधारणपणे २००.९६२२५ असायला हवा. आणि हे काढायला आपल्याला फक्त पहिले ६ आकडे पुरले आहेत!

आता २३वं मूळ काढणं म्हणजे लॉगॅरिदमला फक्त २३ने भागणं आणि मग आलेल्या उत्तराचा अँटीलॉग काढणं.

२००.९६२२५ / २३ = ८.७३७४९ येतात. ह्यातले दशांशचिन्हाच्या आधीचे ८ म्हणजेच एक्सपोनंट. तो आपल्याला ९ आकडे आहेत, हे आपल्याला माहिती असलेलंच सांगतोय. त्यामुळे ते जाऊ दे. आपल्याला उत्तरासाठी ०.७३७४९ चा अँटीलॉग काढायचाय.

पुन्हा लॉगॅरिदम टेबल पाहिलं, की कळेल, की ७३७१९ ह्याआकड्यांचा अँटीलॉग ५४६ आहे, आणि ७३७९९ चा अँटीलॉग ५४७ आहे. त्यामुळे आपलं उत्तर ५४६ आणि ५४७ ह्यांच्या मध्ये आहे. थोडं बारकाईने पाहिलं, की कळतं, की आपलं उत्तर ५४६३७ असायला हवं!

ह्या सगळ्याचा शेवट म्हणजे असा, की जर तुम्ही अक्खं लॉगॅरिदम टेबल पाठ करू शकत असाल, आणि हवं तेव्हा त्यातली हवी ती संख्या आठवू शकत असाल, आणि डोक्यात वरचं सगळं करू शकत असाल, तर तुमच्या उत्तराचे पहिले ५ आकडे ५४६३७ आहेत!!!

शेवटचे ४ आकडे आपल्याला आधी दिलेल्या माहितीने किंवा याच पद्धतीने काढता आलेले आहेत, ते आहेत २८९१, म्हणजेच आपलं उत्तर

५४६३७२८९१

आहे!

आता हे सगळं ५० सेकंदांत काढणं अर्थातच खायची गोष्ट नाही. मी इतका सगळा विचार करूनही मला ते करता येणार नाही, हे मी स्पष्ट लिहून देतो. पण त्यातही गंमत अशी आहे, की सुरवातीचे ६ आकडे आणि शेवटचे ४ आकडे म्हणजे २०१ मधले फक्त १० आकडे वापरले जातायत! उरलेले १९१ आकडे फक्त शोभेसाठी आहेत. हे अर्थातच आधीच्या उदाहरणांशी सुसंगत आहे. संख्येत ढीगभराने आकडे असले, तरी त्यातले बरेचसे बघ्याची भूमिकाच घेतात. त्यामुळे फळ्यावर शकुंतला देवींना दाखवायला संख्या लिहायला घेतली, की पहिले ६ आकडे ९१६७४८ दिसल्यावरच शकुंतला देवी वरची प्रक्रिया करायला सुरू करू शकतात, पण घड्याळ मात्र तेव्हा चालू होत नाही. लिहिणारा उरलेले १९१ आकडे लिहिणार, मग शेवटचे ४ आकडे लिहून पूर्ण करणार, मग घड्याळ चालू होणार! तोपर्यंत शकुंतलादेवींनी मनात वरचं बरंचसं करून पहिले ५ आकडे काढलेही असतील, तर शेवटचे ४ आकडे दिसल्यावर त्या पुढचे ४ आकडे काढून उत्तर पूर्ण करणार! अशी ही जादूगारासारखी चलाखीसुद्धा ह्यात आहे. ती तरीही भरपूर कठीण आहे, हे सांगायला नकोच.

ह्या सगळ्यामध्ये शकुंतलादेवींचं चातुर्य, स्मरणशक्ती, मनात आकडेमोड करायची ताकद, हे सगळंच फार उठून दिसतं. शेवटी हे सगळं करायला असामान्य सराव, आत्मविश्वास, आणि धिटाई गरजेची आहे, हे वेगळे सांगणे नलगे. त्यातली खुमारी काही कमी होत नाही. त्यातून त्यांना कुठलंही शिक्षण असं ह्यात मिळालेलं नव्हतं, ह्याचं कौतुक करावं तितकं थोडं आहे. पण हे करण्यात साधारण आकडेमोड आणि स्मरणशक्ती ह्यांची ताकद जास्त आणि 'गणित' फार नाही, हेही नमूद केल्यावाचून राहवत नाही. त्या एक असामान्य व्यक्ती होत्या, आणि त्यांचं असामान्यत्व योग्य प्रकारे घेतलं गेलं पाहिजे, आणि त्यासाठी त्या काय करत होत्या, हे आपण सजगतेने पाहिलं पाहिजे, असं म्हणून थांबतो.