मोजणी प्रश्न आणि बेनझीन - विज्ञानभाषा मराठी

मायबोलीवर माझा मुख्यत्वे वावर चित्रपटविषयक लिखाण करण्यावरच राहिला आहे. त्यामुळे संयोजकांकडून या उपक्रमाची माहिती मिळाल्यावर लिहिण्याची इच्छा आणि प्रथमच विज्ञानविषयक लिखाणाचे दडपण दोन्ही आले. बरेच दिवस एक विषय डोक्यात एका कोपर्‍यात पडून होता. यानिमित्ताने तो लिहित आहे. या विषयाचे सर्व श्रेय १९७९ मध्ये स्टॅनफर्डला जॉर्ज पोल्या आणि रॉबर्ट टार्जन यांनी मिळून शिकवलेल्या "इंट्रोडक्टरी कॉम्बिनेटोरिक्स" या वर्गाला (कोर्सला) जाते. या कोर्सच्या नोंदी (नोट्स) आज पुस्तकस्वरुपात उपलब्ध आहेत. बहुतेक विद्यापीठांच्या ग्रंथालयात या पुस्तकाचा समावेश असतो. जर नसेल तर तो व्हावा हे माझे वैयक्तिक मत आहे.

संशोधन करताना मला अनेकदा एका सामायिक प्रश्नाचा सामना करावा लागला आहे. अमुक अमुक गोष्टी किती आहेत? किंवा अमुक एक गोष्ट किती प्रकारे घडू शकते? इंग्रजीमध्ये यांना काऊंटिंग प्रॉब्लेम्स म्हणतात. आपण याला मोजणी प्रश्न असे नाव देऊयात. मोजणी प्रश्नांचे महत्त्व अनन्यसाधारण आहे. एक सोपे उदाहरण बघूयात,
एका वर्गात पायस (क), स्नेहा (च), प्रणित (ट), गौरी (त), अमेय (प) हे पाचजण वर्गप्रतिनिधी बनण्यास इच्छुक आहेत. पण केवळ तीनच जागा उपलब्ध आहेत. तर या पाचजणांमधून कितीप्रकारे तीन वर्गप्रतिनिधी निवडता येतील?
इथे { (क,च,ट), (क,च,त), (क,च,प), (क,ट,त), (क,ट,प), (क,त,प), (च,ट,त), (च,ट,प), (च,त,प), (ट,त,प) } अशा सर्व शक्यता एक-एक करून मांडून उत्तर दहा काढता येऊ शकते. एखादा किशोरवयीन बृहस्पती यावर हसून "(फाईव्ह चूज थ्री)", जे अनेक मोजणी प्रश्नांना लागू पडणारे समीकरण आहे, सांगून मोकळा होईल. या समीकरणानेही उत्तर दहाच मिळते. पण मग यात फरक तो काय?
पहिल्या पद्धतीला इंग्रजीत एन्युमरेशन असे म्हटले जाते. यात सर्व शक्यता एक एक करून मांडल्या जातात आणि याने अर्थातच उत्तर बरोबर मिळते. आपण याला मराठीत गणना असे नाव देऊ. जनगणना याचे उत्तम उदाहरण आहे कारण इथे प्रत्येक व्यक्तीची नावासकट नोंद (मांडणी) होते आणि याने लोकसंख्या किती याचे उत्तर मिळते.
पण शास्त्रज्ञांना (आणि खासकरून गणितज्ञांना) हे फारसे रुचत नाही. त्यामुळे ते सर्व शक्यता न मांडताही उत्तर कसे काढता येईल याचा कायम विचार करत असतात. जेणेकरून त्यांना बरोबर उत्तर कमीत कमी श्रमात मिळवता यावे. माझ्यासारख्या संगणकक्षेत्रात काम करणार्‍यांना या पद्धती माहिती असणे क्रमप्राप्त आहे अन्यथा आम्ही बनवलेले सॉफ्टवेअर वेगवान असणे दुरापास्त आहे.
या उदाहरणात आणखी एक रंगतदार गोष्ट आहे. उदा. (पायस, स्नेहा, अमेय) हे समजा वर्गप्रतिनिधी बनले तर त्याने या सहा निवडी विचारात घेतल्या जातात -
{ (पायस, स्नेहा, अमेय), (पायस, अमेय, स्नेहा), (स्नेहा, अमेय, पायस), (स्नेहा, पायस, अमेय), (अमेय, पायस, स्नेहा), (अमेय, स्नेहा, पायस) }.
या सहाही निवडींचा एक गट बनतो आणि या गटातल्या शक्यता समरुप आहेत. त्यांना वेगवेगळे न मोजता त्यांचा एकच गट मोजला पाहिजे. असे दहा गट बनून आपल्याला उत्तर दहा मिळते. मोजणी प्रश्नांमध्ये असे समरुप गट ओळखता येण्याला असाधारण महत्त्व आहे.

आता या सर्वाचा उपयोग काय? याने कोणते प्रश्न सोडवता येऊ शकतात? इथे मी पोल्याने दिलेले एक उदाहरण सांगणार आहे. बेनझीन या रासायनिक संयुगाचे नाव बहुतेक सर्वांनी ऐकलेले असते. सहा कार्बन आणि सहा हायड्रोजन अणूंनी बनलेल्या या संयुगाची उपयोजिता अफाट आहे. विज्ञानात रस घेणार्‍यांनी त्याच्या संरचनेच्या शोधामागची, केक्युलला पडलेल्या स्वप्नाची, कथाही ऐकलेली असते. पण आपण काहीतरी वेगळे बघणार आहोत. प्रश्न आहे बेनझीनची संरचना काय आहे? आज आपल्याला या संरचनेची माहिती आहे. ती अशी दिसते

चित्र १: बेनझीनची संरचना

या संरचनेचे श्रेय केक्युलला दिले जाते. फ्रेडरिक (फ्रीडरिख्) ऑगस्ट केक्युल हा एकोणीसाव्या शतकातील एक जर्मन रसायनतज्ञ होता. एकोणीसाव्या शतकात बेनझीनचे रासायनिक सूत्र (C6H6) ठाऊक असले तरी त्याची संरचना अज्ञात होती. १८६५ मध्ये केक्युलने आपले संशोधन प्रकाशित करताना बेनझीन रेणू हा षटकोनी असल्याचा दावा केला. त्याला पुष्टी देणारे संशोधन त्याने पुढील ७ वर्षांत टप्प्या टप्प्याने प्रकाशित केले. हे रिसर्च पेपर्स व त्याचा पोल्याने वर्गात उदाहरण म्हणून केलेला वापर रंजक आहे. त्याकाळी बेनझीनच्या संरचनेविषयी अनेक सिद्धांत होते. मग केक्युलच्या सिद्धांताची सिद्धता काय? या सिद्धतेचा एक भाग मोजणी प्रश्नांशी संबंधित आहे. सिद्धतेचा हा भाग समसूत्रींच्या (isomer) मदतीने दिला आहे. या भागाचा स्वैर उहापोह पुढीलप्रमाणे

समजा बेनझीनच्या सहा हायड्रोजन (H) अणूंपैकी एक अणू काढून त्याजागी क्लोरिनचा (Cl) एक अणू बसवला तर क्लोरोबेनझीन (C6H5Cl) तयार होते. त्याची संरचना अशी दिसते

चित्र २: क्लोरोबेनझीन

इथे सहज लक्षात येते की क्लोरिनच्या अणूला सहा जागांचे पर्याय आहेत पण सर्व संरचनात्मक दृष्ट्या सारख्याच दिसतात. जर त्या सारख्या दिसल्या नाहीत तर समसूत्री तयार होतात. समसूत्री (isomer) म्हणजे असे दोन रेणू ज्यांचे रासायनिक सूत्र समान आहे पण संरचना वेगळ्या आहेत. मोजणी प्रश्नांच्या भाषेत हे सहा पर्याय समरुप असून त्यांचा एकच गट मोजला पाहिजे. एकोणीसाव्या शतकातील रसायनतज्ञांना हे ठाऊक होते की क्लोरोबेनझीनचा एकच समसूत्री असतो, म्हणजे त्याची संरचना एकाच प्रकारची असते. जर तुमच्या बेनझीन संरचना सिद्धांताने क्लोरोबेनझीनकरिता एकापेक्षा अधिक समसूत्रींचे भाकित केले तर अर्थातच तो सिद्धांत चुकीचा ठरतो. आता हाच तर्क पुढे नेऊयात.

ब्रोमोक्लोरोबेनझीन (BrC6H4Cl) विचारात घेऊयात. यासाठी एक हायड्रोजनचा अणू काढून त्याजागी क्लोरिनचा एक अणू बसवला तसेच हायड्रोजनचा आणखी एक अणू काढून त्याजागी ब्रोमिनचा (Br) एक अणू बसवला. याच्या तीन समसूत्री बनतात.

चित्र ३: ब्रोमोक्लोरोबेनझीन समसूत्री १

चित्र ४: ब्रोमोक्लोरोबेनझीन समसूत्री २

चित्र ५: ब्रोमोक्लोरोबेनझीन समसूत्री ३

केक्युल व इतर रसायनतज्ञांना प्रयोगांनी हे सिद्ध करता येत होते की ब्रोमोक्लोरोबेनझीनच्या तीन समसूत्री असतात. केक्युलने षटकोनी संरचनेचे गृहीतक मांडून ब्रोमोक्लोरोबेनझीनच्या किती समसूत्री असतील हे मोजण्याचा प्रयत्न केला. पुन्हा एकदा इथे योग्य ते समरुप गट मांडून मोजणी प्रश्न सोडवणे क्रमप्राप्त आहे. आधी आपण थेट शक्यता मांडल्या तर पहिल्या हायड्रोजन अणूसाठी सहा पर्याय तर दुसर्‍यासाठी पाच पर्याय मिळून ६ x ५ = ३० शक्यता मिळतात. एव्हाना आपल्याला ठाऊक झाले आहेच की या शक्यतांचे समरुप गट पाडल्यानंतरच मोजणी प्रश्न सुटेल. या ३० पैकी १२ शक्यतांचा एक गट बनतो (समसूत्री १), १२ शक्यतांचा दुसरा गट बनतो (समसूत्री २) आणि उर्वरित ६ शक्यतांचा तिसरा गट बनतो (समसूत्री ३). त्यामुळे षटकोनी संरचनेसाठी याचे उत्तर येते तीन जे प्रयोगांच्या निरीक्षणांशी जुळते.

षटकोन वगळता त्याकाळी प्रचलित इतर पर्यायांपैकी कोणत्याच संरचनेने हे उत्तर तीन येत नव्हते. त्यामुळे आपसुकच इतर बहुतांश सिद्धांत फोल ठरले. पोल्या आपल्या उदाहरणात इतर संरचनांमधल्या समसूत्री मोजायला लावतो आणि सिद्धतेचा हा भाग गृहपाठ म्हणून पूर्ण करायला लावतो. मी पोल्याच्या पुस्तकाची लिंक लेखाच्या शेवटी दिली आहे. तिथे हा गृहपाठाचा प्रश्न आणि पोल्याचे उत्तर वाचता येईल. अर्थातच याने केक्युलची सिद्धता पूर्ण होत नाही पण इतर सिद्धांतांपेक्षा त्याचा सिद्धांत बरोबर असण्याची शक्यता अधिक असल्याचे सिद्ध झाले. याने त्याच्या षटकोन सिद्धांताला पुष्टी मिळाली आणि पुढे त्यात सुधारणा होऊन बेनझीनच्या संरचनेचे सुधारित रुप १८७२ मध्ये प्रचारात आले. या सिद्धांताची पूर्ण सिद्धता तसेच कालांतराने त्यात होत गेलेल्या सुधारणांचा इतिहासही अतिशय रोचक आहे. या सिद्धांताचे सर्वमान्य स्वरुप प्रचारात यायला विसावे शतक उजाडावे लागले. १९२८ साली लायनस पॉलिंगने या विषयावर एक प्रसिद्ध शोधनिबंध लिहून हे स्वरुप मांडले. पण या सर्वाची सुरुवात झाली १८६५ मध्ये एका मोजणी प्रश्नाने!

मोजणी प्रश्नांची उपयोजिता अमर्यादित आहे. किंबहुना ते एक अतिशय उपयुक्त असे मूलभूत साधन आहे. या लेखाद्वारे त्यांची नव्याने ओळख करून देण्याचा हा अल्पसा प्रयत्न!

* सर्व चित्रे विकिपिडियावरून साभार
* "इंट्रोडक्टरी काँबिनेटोरिक्स : जॉर्ज पोल्या, रॉबर्ट टार्जन व डोनाल्ड वूड्स - अ‍ॅमॅझॉनवर उपलब्ध