(a^2 + b^2) =???

Submitted by जव्हेरगंज on 10 January, 2016 - 00:15

माबोवरील 'चालवा डोकं' पाहून मलाही एक कोडं सुचलं. खरंतर अकरावीलाच सुचलं होतं आणि तेव्हाच सोडवलं होतं. पहा तुम्हाला जमतयं का?

जर
(a चा वर्ग - b चा वर्ग) =(a+b)(a-b)

असा होतो

तर

(a चा वर्ग + b चा वर्ग) =???

कसा कराल?

विषय: 
शाळा
कूटप्रश्न
शब्दखुणा: 
(a^2 + b^2) =???
Groups audience: 
चालवा डोकं
Group content visibility: 
Public - accessible to all site users
शेअर करा

(a+b)(a+b)-2ab

Submitted by मन्या सज्जना on 10 January, 2016 - 01:03

जव्हेरगंज

समजा,

अ =२, ब = १
२ मीटरचा एक चौरस काढा. याच्या सर्व बाजू २ असतील.
या वर्गातून १ मीटरचा चौरस कट करा. त्यानंतर जी आकृती राहील तिचे क्षेत्रफळ म्हणजे अ चा वर्ग वजा ब चा वर्ग.

चौरसाचे चार भाग पाडले आणि त्यातून खालच्या भागातील उजवा भाग कट केला तर तो १ चौरस मीटर असेल. चारही भागांच्या चारही बाजू या एक मीटरच्या असतील.

कट केल्यानंतर खालच्या बाजूला डावीकडचा एक मीटर लांबीचा चौरस तुकडा काढून वरच्या भागातील उजव्या चौकोनाच्या उजव्या रेषेत चिकटवा. आता तीनही चौरस एका रेषेत आले.

वरच्या चौरसाची लांबी आधी २ मीटर होती
त्यात एक मीटर अ‍ॅड झाले.

म्हणजेच
अ + ब ही लांबी

आता रुंदी एक मीटरने कमी झाली
दोन वजा एक म्हणजे

अ - ब ही रुंदी.

लांबी गुणिले रुंदी = ( अ + ब ) ( अ - ब )

हीच पद्धत
तुमच्या दुस-या प्रश्नासाठी वापरता येईल.

Submitted by घायल on 10 January, 2016 - 01:15

@ मन्या सज्जना

(a+b)(a+b)-2ab

असे ऊत्तर अपेक्षित नाही. विसर्ग कंसांच्या गुणाकारात हवा. तुमच्या उत्तरात - (वजा) हे चिन्ह कंसाच्या बाहेर आले आहे. म्हणून बाद.

@ देवकी

=(a+b)(a+b)>>> याचा गुणाकार a^2 +2ab+b^2 असा येईल.

जो की a^2 + b^2 एवढाच अपेक्षित आहे.

Happy

(बहुतेक थोडे आऊट अॉफ बॉक्स थिंकीगची गरज आहे)

Submitted by जव्हेरगंज on 10 January, 2016 - 01:26

(a चा वर्ग - b चा वर्ग) =(a+b)(a-b)>>>>>. हह्या फॉर्म्युलानुसार मी उत्तर ,फक्त+ चिन्ह बदलून दिले.;)

Submitted by देवकी on 10 January, 2016 - 02:17

कॉम्लेक्स i, j वापरला तर चालेल?
(a+ib)(a-ib)=a^2 - (ib)^2 = a^2 +b^2>>>>>>

चांगला प्रयत्न, आवडला, पण कॉम्लेक्स i, j न वापरता पण उत्तर येऊ शकते Happy

Submitted by जव्हेरगंज on 10 January, 2016 - 02:28

a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab = (a+b)^2 - (sqrt(2ab))^2 = (a+b+sqrt(2ab))(a+b-sqrt(2ab))

ही एक किंवा कॉम्प्लेक्स नं वाली पद्धत. अर्थात एक लक्षात घ्या, ज्याला प्युरिस्ट फॅक्टराईझेशन म्हणतात, म्हणजे कोणताही कॉम्प्लेक्स नंबर नाही किंवा व्हेरिअबलची डिग्री अपूर्णांक नाही, असं फॅक्टराईझेशन याचे होत नाही. अधिक माहितीसाठी वूल्फ्रॅम अल्फावर जाऊन is a^2+b^2 irreducible असा सर्च देणे, तो ट्रू रिटर्न करेल.

Submitted by पायस on 10 January, 2016 - 03:22

@पायस,
a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab = (a+b)^2 - (sqrt(2ab))^2 = (a+b+sqrt(2ab))(a+b-sqrt(2ab))>>>>

क्या बात है! अगदिच सही! मी याच पद्धतीने सोडवले होते.
मला हेच उत्तर अपेक्षित होते! Happy

Submitted by जव्हेरगंज on 10 January, 2016 - 03:56

अरे वा, मला पण विचार करायचा होता, पण चालवायला डोकं असायला हवं ना !!!

हे सगळ्यांना माहित असेलच

Let a = b

then a^2 = ba
then a^2-b^2 = ba-b^2
then (a+b)(a-b) = b(a-b)
then a+b = b
then 2b = b

then 2 = 1

Submitted by दिनेश. on 10 January, 2016 - 05:11

Let a = b
then a^2 = ba
then a^2-b^2 = ba-b^2
then (a+b)(a-b) = b(a-b)
then a+b = b
then 2b = b
then 2 = 1>>>>

if a = b

then here
a-b =0
so

(a+b)(a-b) = b(a-b)

in above equation
0=0
असं होईल.
म्हणून

2b = b
ला काहीच अर्थ राहत नाही
कारण येथे a आणि b दोन्ही 'शुन्य' आहेत.

Submitted by जव्हेरगंज on 10 January, 2016 - 05:22

गणित सोपे करायला वापरतात की अवघड ?

अ वर्ग - ब वर्ग चा फॉर्मुला उत्तर सोपे करतो.

वर्गाची बेरीज करायला वर्ग करुन बेरीज करणेच सोपे जाईल.

Submitted by nasir on 10 January, 2016 - 05:28

नासीरशी काही अंशी सहमत.
मूळात घास फिरवून खाण्यामागचा हेतू नाही समजला.
जे ओरिजिनल a2 - b2 आहे त्याचाही हेतू नुसते आकडेमोड सोपे करणे असे नसून ईतर समीकरणांमध्ये तो फॉर्म्युला वापरून ती समीकरणे सोडवणे वा सोपी करणे हा देखील होता.

बाकी जे काही उत्तर होते ते पायस यांनी द्यायचेच होते. ते गणितात ब्रिलियंटच आहेत.

Submitted by ऋन्मेऽऽष on 10 January, 2016 - 08:30

जव्हेरगंज.. ती फॅलसी अनेकांच्या लक्षात येत नाही. भारतातील गणितज्ञ शकुंतला देवींच्या पुस्तकात होते ते उदाहरण.

Submitted by दिनेश. on 10 January, 2016 - 10:01

x * x = x + x + x + .... x times.
take derivatives on both sides .
2 *x = 1 + 1 + 1 + ... x times
2 * x = x.

( x * x = x^2 आणी त्याचा डेरिव्हेटिव्ह २ * क्ष)

Submitted by vijaykulkarni on 10 January, 2016 - 12:00

x * x = x + x + x + .... x times.
take derivatives on both sides .
डावीकडे derivatives घेतल्यावर २*x कसे आले ? मला नाही समजले....

Submitted by उदय on 10 January, 2016 - 11:40

x * x = x + x + x + .... x times.
take derivatives on both sides .
2 *x = 1 + 1 + 1 + ... x times
2 * x = x.

>>>

हेहे, हा एक मस्त प्रॉब्लेम आहे. खरंच कॅल्क्युलस समजलंय का पोरांना हे बघायला वापरायलाच तयार झालाय हा Lol
कसं आहे x * x = x + x + x + .... x हे तेव्हाच खरं आहे जेव्हा क्ष एक पूर्णांक अर्थात इंटिजर आहे. (3 = sqrt(3) + sqrt(3) + ... sqrt(3) times मधल्या sqrt(3) times काही अर्थ नाही ना!) पण डेरिव्हेटिव्ह हे अख्ख्या रिअल नंबर लाईन साठी असतं! मग तो फॉर्म्युलाच मुळात अनेक आकड्यांसाठी खरा ठरत नाही, मग त्यातून येणारा रिझल्ट कसा बरोबर येईल? Happy
हा जर डिस्क्रीट डिफरन्शियल असतं (डेल्टा आणि डेल ऑपरेटर्स; हां आता चेहरे बनवू नका, बरेच अभियंते आहेत इथे. एम४ मध्ये असतं हे सगळं!) तर मग दोन्ही साईडला ते लावता आलं असतं.

Submitted by पायस on 10 January, 2016 - 12:22

वाह .. गणित माझ्या अत्यंत आवडीचा आणि स्कोरींग विषय आहे.
अजून येऊ देत..

पायस ह्यांची रित सहज सोपी आहे. आवडली. इतर गणितप्रेमींचे प्रयत्नही आवडले.

Submitted by हर्ट on 10 January, 2016 - 22:46