मोजमापं आणि त्रुटी - १

(आज भारतीय विज्ञान दिनानिमित्त मोजमापं आणि त्रुटी या विषयावर लिहितो आहे. प्रत्येकाला करून बघण्यासारखा मोजमाप करण्याचा प्रयोग आहे. त्यात सहभाग घ्यावा ही विनंती.)

आपण आपल्या दैनंदिन जीवनात अनेक गोष्टी मोजतो. मुलाला आलेला ताप थर्मोमीटरने मोजतो. डाएट करत असो वा नसो, अधूनमधून आपलं वजन मोजतो. स्वयंपाक करताना पोळ्यांसाठी कणीक मोजून घेतो. काही वेळा प्रत्यक्ष मोजत नाही, नुसताच अंदाज घेतो. म्हणजे आरशात बघून 'पोट सुटलंय आताशा' असं म्हणतात. किंवा बाहेर पडल्यापडल्या 'काय थंडी आहे' म्हणतो. हे अंदाज घेणं हेही एक प्रकारे मोजमापच असतं. पोट किंवा थंडी मोजताना आपण त्यासाठी आकडेवारी वापरण्याऐवजी वर्गवारी वापरतो. पोटासाठी आपण 'खपाटीला गेलेलं' 'सपाट' 'किंचित सुटलेलं' 'सुटलेलं' 'ढेरी' 'नगारा' असे चढत्या भाजणीचे शब्द वापरतो. या मोजमापात अचूकता खूपच कमी असते.

अचूक मोजमाप ही अनेक ठिकाणी उपयुक्त ठरते. पण अचूक म्हणजे नक्की काय? खरं तर पूर्णपणे अचूक मोजमाप असा प्रकारच अस्तित्वात नसतो. तीन वाट्या कणीक मोजून घेतो तेव्हा पाच-दहा ग्रॅम इकडेतिकडे होतेच. कदाचित जास्तही होत असेल. पण त्याने फारसा फरक पडत नाहीत. अगदी एक ग्रॅमपर्यंत मोजणाऱ्या काट्याने कणीक मोजली तरीही काही कण कमीजास्त होणारच. आपली अचूकपणाची गरज दरवेळी वेगवेगळी असते. दैनंदिन जीवनात साधारणपणे एखाद्या टक्क्याने फारसा फरक पडत नाही. पैशांच्या व्यवहारात हा अचूकपणा अधिक लागतो. पण तिथेही हजार रुपयांत चाराठ आणे कमी का जास्त याचा आपण विचार करत नाही.

व्यवहारात आपण काही त्रुटी स्वीकारतो. पण जेव्हा शास्त्रज्ञांना मोजमापं करायची असतात तेव्हा त्यांना ही त्रुटी शक्य तितकी कमी करायची असते. कुठचीही मोजमापं करताना साधारणपणे दोन प्रकारच्या त्रुटी येतात.
१. यंत्रणात्मक त्रुटी (systematic errors) - मोजमापाच्या यंत्रणेत काहीतरी चूक असेल तर ती सर्वच मोजमापनात दिसून येते. आपल्या कणकेचंच उदाहरण घेऊया. तीन वाट्या कणीक घेण्याच्या कृतीत जर लहान वाटी वापरली तर पोळ्या कमी होतील. ही यंत्रणात्मक त्रुटी झाली. किंवा वाण्याकडे दीडदांडीचा तराजू असेल आपल्याला मिळणारं सामान नेहमीच कमी वजनाचं असेल. जुन्या काळी लंबकाची घड्याळं असायची. हिवाळ्यात तो लंबक लहान होऊन भराभर झोके घ्यायचा, आणि घड्याळ पुढे जायचं. हे पुढे जाणं ही यंत्रणात्मक त्रुटी. जरी बरोबर वेगाने चाललेलं असेल तरी समजा ते पाच मिनिटं कायम पुढे असेल तरी त्यात दिसणाऱ्या वेळेतली त्रुटी ही यंत्रणात्मक.
२. यादृच्छिक त्रुटी (random errors) - मोजमाप करताना आपल्याला काही गोष्टी अगदी अचूकपणे नियंत्रित करता येत नाहीत. त्यामुळे एकच राशी पुन्हा पुन्हा मोजली तरी दरवेळी मोजमाप वेगळी होऊ शकते. वरच्या कणकेच्या उदाहरणात वाटी बरोबर आकाराची असली तरी प्रत्येक वेळा वाटीने काढलेली कणीक सारखीच असेल असं नाही. कणीक भरलेल्या डब्यात काही ठिकाणी ती जास्त दाबलेली असते, काही ठिकाणी कमी. त्यामुळे प्रत्येक वेळा वाटीत येणारी कणीक ही थोडीफार वेगळी असते. पण हे कमी अधिक होणं यादृच्छिक असल्याने या त्रुटीची शेवटी बेरीज शून्यवत होते.

मोजमापांविषयी, व त्यांमधल्या त्रुटींविषयी अधिक समजून घेण्यासाठी एक प्रयोग करण्याची इच्छा आहे. त्यात शक्य तितक्या लोकांनी सहभागी व्हावं असं मी आवाहन करतो. खाली तीन आकृत्या दिल्या आहेत. प्रत्येक आकृतीत एक सरळ रेषाखंड आहे. आणि त्याभोवती जाणारी एक वर्तुळाची ज्या आहे. अर्थातच लांबीला तो रेषाखंड लहान व ज्या मोठी आहे. आता प्रश्न असा आहे, की त्या रेषाखंडाची लांबी १०००० एकक असेल तर त्या जिवेची लांबी किती? थोडक्यात, त्यांच्या लांबीचं गुणोत्तर किती? हे गुणोत्तर तीनही आकृतींसाठी वेगवेगळं आहे. मात्र या प्रश्नाचं उत्तर देताना कुठचंही भूमितीचं प्रमेय वापरायचं नाही. तुम्ही त्याचं मोजमाप घ्यायचं आहे. त्यासाठी कुठचंही उपकरण वापरण्याची तुम्हाला मुभा आहे. मी तुम्हाला दोन पद्धतींनी मोजण्याची विनंती करतो.

१. प्रथम कुठचीही मोजमापं न करता केवळ नजरेने ही तीनही गुणोत्तरं किती असतील याचा थोडा काळजीपूर्वक अंदाज करून तो नोंदवा.
२. आता तुम्हाला हव्या त्या पद्धतीने तीनही आकृतीतील बाजू पुन्हा शक्य तितक्या अचूकपणे मोजा. तुम्हाला खालील पद्धती वापरता येतील
- स्क्रीनवर प्रतिमा झूम करून (Ctrl +) शक्य तितकी मोठी करा. आता स्क्रीनवरच पट्टीने मोजा. ज्या मोजण्यासाठी तुम्हाला एकतर वाकू शकणारी पट्टी घ्यावी लागेल. किंवा त्या जिवेचे लहान लहान तुकडे करून ते साधारण सरळ आहेत असं समजून अंतरं मोजून बेरीज करता येईल. (मी दिलेल्या आकृतींमध्ये ज्या तुटक दिसत आहेत. ती एकसंध आहे असं गृहित धरा)
- जर मोठ्याशा कागदावर प्रिंटआउट घेतला तर ही मोजमापं अधिक सोपी होतील. व अनेक वेळाही घेता येतील. एकाच आकृतीसाठी दर वेळी किंचित वेगळं उत्तर येण्याचीही शक्यता आहे. काही हरकत नाही, त्या सर्व उत्तरांची सरासरी हे तुमचं उत्तर.
३. आता तुमच्याकडे प्रत्येक आकृतीसाठी अंदाजे काढलेलं आणि मोजमापाने काढलेलं अशी दोन उत्तरं असतील. (तुमचं अंदाजे आलेलं उत्तर किती का चुकलेलं असेना, ते बदलू नका.) हे सहाही आकडे मला व्यक्तिगत निरोपाने पाठवा. तसंच थोडक्यात तुम्ही कुठची पद्धत वापरलीत ते सांगा. इथे प्रसिद्ध न करण्याचं कारण असं की इतरांच्या उत्तराकडे पाहून आपल्या उत्तरावर त्याचा परिणाम होऊ नये.

आलेली सर्व उत्तरं संकलित करून त्यांची सरासरी आणि डिस्ट्रिब्यूशनची आकडेवारी मी प्रसिद्ध करेन. यात 'अमुकचं उत्तर बरोबर आलं' असं ठरवण्याचा प्रयत्न नाही. त्या आकडेवारीतून आपल्याला मोजमापन करण्याविषयीच्या काही बाबी लक्षात येतील अशी आशा आहे. उदाहरणार्थ आपण यादृच्छिक त्रुटीविषयी पाहिलं. जितकी जास्त मोजमापं होतील तशी यादृच्छिक त्रुटी कमी होईल असा आपला दावा आहे. ते तसं दिसतं का, हे आपण तपासून पाहू शकतो. या प्रयोगात काही यंत्रणात्मक त्रुटी दिसून येतात का? असल्यास त्यांमुळे उत्तर अधिक येतं की कमी येतं हेही बघता येईल.

आकृती १

आकृती २

आकृती ३